Question

二重积分：极点在积分区域边界，r的下限却可以不为0？

例：∫(0->2)dx∫(√(2x-x^2)->√(4-x^2)f(x,y)dy解：原式=∫(0->π/2)dθ∫(2cosθ->2)f(rcosθ,rsinθ)rdr问的是极点在积分区域边界，r下限却可以不为0！！！

Answer 1

解：以直角坐标系的原点为极点，建立极坐标系。
设x=rcosθ，y=rsinθ。由题设条件，0≤r≤1/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]^(1/2)，0≤θ≤2π。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,1/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]^(1/2))rdr。利用被积函数的对称性，∴原式=2∫(0,π/2)dθ/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]=2∫(0,π/2)d(tanθ)/[1+(2tanθ)^2]=arctan(2tanθ)|(θ=0,π/2)=π/2。供参考。