Question

xsin1/x极限x趋向于0对吗？

Answer 1

对，x→0-时，sin(1/x) 中的1/x的值在四个象限循环出现，无法确定sin(1/x)的

值究竟是正是负。但是不管怎样，x是无穷小，sin(1/x)是有界函数，极限为0.

同样，当x→0+，也是一样，极限为0。

所以，左极限=右极限=0

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极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

Answer 2

xsin1/x极限x趋向于0对。

f(x)=xsin(1/x)

因为 -1≦sin(1/x)≦1

所以 -x≦f(x)≦x

lim(-x)=0，lim(x)=0

根据夹逼原理

当x趋于0时，limf(x)=0

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因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。