Question

若a>l,b>丨,且㏒a3十㏒b27=4,则㏒3(ab)的最小值为多少?

高二天一大联考期末考试

Answer 1

详细过程如图请参考

Answer 2

若a＞1，b＞1且loga(3)+logb(27)=4，
则log3(ab)最小值是多少？

解题过程:
所给条件中对数与所求结果对数的底不同，需要对其中一个进行换底处理。
设log3(a)=m＞0，
log3(b)=n＞0，
则loga(3)=1/log3(a)=1/m，
logb(3)=1/log3(b)=1/n，
代入条件中等式得
1/m+logb(27)=4
1/m+logb(3³)=4
1/m+3logb(3)=4
1/m+3/n=4
n+3m=4mn
令t=log3(ab)=log3(a)+log3(b)=m+n＞0，
得n=t－m,
(t－m)+3m=4m(t－m)
t+2m=4mt－4m²
4m²+(2－4t)m+t=0
该方程有正数解，则
△=(2－4t)²－4×4t≥0
16t²+4－16t－16t≥0
t²－2t+1/4≥0
(t－1)²－3/4≥ 0
(t－1)²≥3/4
t≥1+(0.5根号3)或t≤1－0.5根号3
因t=m+n＞0，
故m+n≥1+0.5根号3
即log3(ab)最小值是1+0.5根号3。