实数不包括什么？
实数不包括虚数，虚数单位i的定义是i=-1。实数包括小数，整数。实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
高级性质
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。
由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。事实上这假设独立于ZFC集合论，在ZFC集合论内既不能证明它，也不能推出其否定。
所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：
1. Löwenheim–Skolem theorem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；
2. 超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R一样的一阶逻辑命题。满足和R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在中证明要简单一些），从而确定这些命题在R中也成立。
