Question

矩阵的行列式是什么？

Answer 1

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。行列式的意义是变换后，空间的膨胀系数。要理解行列式，先理解向量的叉积。

三维矩阵的行列式是三个向量所张成的体积。

一个变换，在特征向量所张成的坐标系下，是一个对角矩阵。对角线上的数字，是对应基向量的特征值。特征值表示的是，矩阵对单位基向量的缩放倍数。也就是说，特征值代表着映射到另一个空间的单一维度的缩放比例。

对角矩阵的行列式等于特征值的乘积。这一点，从特征值和行列式的意义，不难直接得出。

如果行列式不为零，代表变换对每一个维度的缩放都不为零。所以这个映射是可逆的。矩阵是满秩的。原空间和映射之后的空间的维度是相等的,映射后的空间与原空间在体积上扩大的倍数等于行列式，等于各个维度缩放倍数的乘积，也就是等于所有特征值的乘积。

如果行列式为零，代表变换至少对一个维度的压缩到了零点。所以这个映射是多对一的，矩阵不可逆。矩阵是非满秩的。原空间和映射之后的空间的维度是不相等的，映射之后的空间维度降低了。向量空间经过矩阵映射之后，被压缩了。