Question

十八世纪的微积分（四）

Answer 1

多元函数微积分

18世纪初期已出现2-3个变量的函数的微积分，尽管詹姆斯伯努利和尼古拉斯伯努利使用了偏导数，但创造偏导数理论的是Alexis Fontaine des Bertins(1705-1771)、欧拉、克莱罗（1713-1765）和达朗贝尔（1717～1783）。

一开始导数和偏导数都用同样字母d表示，后来物理意义要求人们在多个自变量的函数中考虑只有某个自变量变化的导数。

克莱罗发现当且仅当δp/δy=δq/δx时pdx+qdy是恰当微分（即存在一个函数f使δf/δx=p,δf/δy=q，怎么感觉恰当微分跟保守向量场有点像啊？）

欧拉研究流体动力学时处理了早期偏微分方程的工作，他在1734年的一篇文章中证明，若z=f(x,y),则 。他还处理了变量替换，偏导数反演和函数行列式。

牛顿的工作已包含了多重积分，如球作用于质点的万有引力，只不过当时用的是几何论述。18世纪，数学家用分析形式处理并推广他的工作，人们使用重积分来表示二阶导函数的解。

1770年左右，欧拉清楚地认识了由弧围成地有界区域上的二重定积分，他给出了累次积分计算的程序。拉格朗日用三重积分表示引力，他发现直角坐标很麻烦后转用球坐标，开始了多重积分变换的课题。同时期拉普拉斯也做出了球坐标变换。

在微积分中提供严密性的尝试

早期人们走了一些弯路把概念越搞越糊涂了，甚至有个主教伯克利（1685-1753）逐条批判数学家没有逻辑、没有理由的处理方法。欧洲大陆的数学家如欧拉更多地用代数进行论证，他使微积分建立在代数的基础上，为后来的论证开辟了道路。

拉格朗日也做了尝试。他呼吁把函数展开成幂级数，我们现在知道这涉及各阶导数的存在性，而拉格朗日又避免讨论导数的存在性，也没有讨论级数的收敛性，因此这种做法后来被抛弃了。

有少数几人做了正确的努力，如达朗贝尔和早期的沃利斯，他们能意识到其中存在极限，但表达较为含糊。

18世纪微积分逻辑没啥进展，大家工作都比较随意，还没区分大和无穷大，甚至没区分差商和导数、和与积分。1755年欧拉区分了函数的增量与函数的微分，也区分了和与积分，但没有被迅速采用。因为缺乏可靠基础，当对数函数推广到负数和复数时引发了很多争论，直到19世纪才完成微积分的严密化。（我感觉17世纪结尾的时候，描写18世纪是形式一片大好啊？？？）