Question

连续函数与区间之间的关系

Answer 1

函数在一个闭区间内连续是有界的充分非必要条件 闭区间内连续必有界,有界不一定要求闭区间内连续。
①连续是从点出发定义的。x0是定义域一点，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时 |f(x)-f(x0)|0，你找的那个δ>0可以和x0和ε都有关系。对于不同的x0，即使给的ε是同一个数，找的δ也往往不同。 ②一直连续直接从全局出发定义：在一个区间上如果任给ε>0，都存在一个δ>0，使得区间上任意两个点x'和x''只要满足了|x'-x''|<δ，那么就有|f(x')-f(x'')|0以后可以找到一个公共的δ，所有区间上的x一致地适用。换句话说，如果把连续的定义里面加上存在一个和x0无关的δ，那么就是一直连续的等价定义。上面说的都是理解层面的，具体解题还是按照原式定义出发比较方便，个人认为
函数在一个区间内连续就是说在某一点的左右极限相等且等于函数值左右端点处除外，只要相应的极限等于函数值就行了函数在一个区间内连续就是指区间内的任一点都满足这种关系。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。