Question

杨辉三角

Answer 1

  在探索了多项式平方之后，如：（a+b）²，我想进一步探索（a+b）³...看有什么规律，其实这就是我之前听说过的杨辉三角，我准备提前探索一下杨辉三角的规律。

  如何才能探索杨辉三角规律？直接找肯定找不出来，我准备先从具体的计算中，找找规律。先计算一下（a+b）²，如图：

我可以利用乘法分配律得到结果，但是只有这一个算式，看不出什么规律，至少要找三组才可以。于是我准备继续计算（a+b）³和（a+b）的四次方，如图：

观察上面几组算式结果，有什么规律？我准备分别从每一个式子的系数，项数，和次数入手。首先，我要观察项数，可以分别把他们的项数写出来：也就是3、4、5。我仔细观察这几个数字有什么关系？我突然发现每一项的项数和次数有关系，项数是次数+1，可以用代数来表示一下：项数为（n+1）。那么每一项的系数又有什么规律？我们同样可以把每一项的系数相加罗列出来，4、8、16，这有什么规律？首先我发现他和次数之间有规律，次数是多少，它的系数就是2的N次方， 如果次数是3，系数就是2的三次方，我们可以用代数式表示这个规律：系数为2的n次方。并且我还发现一个规律，（a+b）²的系数分别是1、2、1。（a+b）³的系数分别是1、3、3、1。（a+b）四次方系数分别是1、4、6、4、1。把它们组合在一起排列下去，其实就是这样，如图：

我发现上面的两个数相加，其实就等于下面的数，每一个式子的系数都可以对应这个图，我们也可以利用这个图找到一个任意次方式子的系数是多少。那么每一项的次数有什么规律？我可以把他们的次数相加找找规律，我同样分别罗列他们的次数，6、12、20。我发现一个规律，每一个式子化简完的每一项的次数都是原式的次数，所以我们就可以得到次数之合为次数乘项数，可以用代数式表示：次数为n（n+1）。最后我们可以再总结一下每一个式子项数、系数、次数的规律，如图：

  但是现在我只找到了每个式子次数，系数和项数的规律，还不能将任意次方的式子拆分，需要找到具体拆分的方法，我们可以先找到一个式子，得出结果，来找规律，比如（a+b）的八次方。如图：

我计算得到结果，这个结果与原式之间有什么关系？这个式子的系数就是刚才我们所找到的规律，可以利用图表将它的系数写出来。所以我们在遇到任意一个式子的时候，都可以先将系数写出来，但是后面的字母和次数，又有什么规律？我仔细观察，可以先从字母a入手，观察每一项a的次数，我突然发现了一个规律，a的次数从开始往后依次递减1，最开始的次数就是整个式子的系数，每往后一项次数依次-1，直到变为零。接下来我又观察b的次数，我发现b的次数是从零开始依次往后加1，直到加到整个式子的次数。现在我们可以确定系数，又得到了次数的变化规律，遇到任意一个次方的式子，就可以利用同样的方法将它拆分。但现在，我又遇到了一个问题，如果是（a+b）的n次方该怎么办？它的系数是多少？如果系数不确定，就无法进行拆分，我想尽各种方法，但最终也没有解决，感觉现在已有的认知以及所掌握的东西，都无法解决这个问题，看来只能等到以后再慢慢解决了。

  看起来几个不同的式子，但他们之间却有着巨大的联系，在探索了杨辉三角的规律之后，一部分有关次方的式子我也可以将它拆分，但是如果次方是未知数，我现在就无法得到结果，但是在以后掌握更多知识后，我就可以将它解决。