矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换
我们曾在线性代数里学过向量空间，它是由向量做成的集合。在这个集合里向量可以相加，向量可以乘以一个倍数，由此我们可以讨论向量的线性组合、向量的线性相关等概念。
如果上述运算满足以下规则，则称 为数域 上的 线性空间 。 中的元素也称为向量。
解：
令其对应项相等即可。
一般来说，一个元素在不同的基底下有不同的坐标，它们的坐标有什么关系呢？
设 是 上的 维线性空间， ， ， ， 和 ， ， ， 是 的两个 不同的基底 ，因为 ， ， ， 是基底，所以 ， ， ， 可以被这个基底线性表达，这两个基底的关系是：
利用 过渡矩阵 就可以得到这个元素的两个坐标之间的关系：
我们知道三维线性空间 的二维平面 也是一个线性空间，这种类型的空间叫作 子空间 。
这个子空间叫做 和 的 和子空间 。
由两个子空间 ， 生成的子空间的维数 , 与原来的子空间的维数之间有一个关系，称之为 维数定理 ，即：
这个几个概念比较重要，需要记住。
则称 为 上的 线性变换 。线性变换保持 上的运算。
上面这个线性变换的公式需要记住，经常会考这个改变以及以下变种。比如下文的线性变换的矩阵的公式：
由：
能得到：
这时如果知道：
即可求出：
等于：
等于：
可以证明，线性空间中的所有线性变换也做成一个线性空间，记作
像子空间 是由 中所有元素的像构成的，即任取 ，则一定存在 ，使得 。
核子空间 是由所有 中的一些元素构成的，这些元素在线性变换的作用下是零。
上的所有线性变换构成的子空间是一个比较抽象的空间，我们知道一些具体的线性变换，但是任意一个线性变换是什么样子的，怎么表达呢？
设 ，
可以看出，决定线性变换结果的是：
即基底在这个线性变换之下变成了什么形式。
因为 ，仍然是 中的元素，当然可以被 的基底表达：
为线性变换 在基底 下的矩阵。
可见每一个 线性变换实际上与一个矩阵相对应 ，反过来，每一个矩阵也对应一个线性变换，即给定一个矩阵 ,只要定义：
则这个矩阵对应一个线性变换。
