Question

数列an中，a0=2，,a1=10,且an+2=6an+1-an,求证an能表示成两个自然数平方和

Answer 1

a0=2=1^2+1^2，,a1=10=1^2+3^2,设b0=b1=1,,b2=3,则
b<n+2>=2b<n+1>+bn,为正整数，
猜an=bn^2+[b<n+1>]^2①
n=0,1时①成立。
假设n=k-1,k时①成立，即
a<k-1>=b<k-1>^2+bk^2,
ak=bk^2+b<k+1>^2,那么
a<k+1>-{[b<k+1>]^2+[b<k+2>]^2}

=6ak-a<k-1>-{[b<k+1>]^2+[2b<k+1>+bk]^2}
=6bk^2+6[b<k+1>]^2-b<k-1>^2-bk^2-{5[ b<k+1>^2+4bkb<k+1>+bk^2}
={b<k+1>}^2+4bk^2-4bkb<k+1>-[b<k-1>]^2
=[b<k+1>-2bk]^2-[b<k-1>]^2
=[b<k-1>]^2-[b<k-1>^2=0,
所以a<k+1>=[b<k+1>]^2+[b<k+2>]^2，
即对n=k+1,①成立。
由数学归纳法，对任意自然数n,①都成立。