Question

矩阵与其转置的乘积是什么

Answer 1

矩阵与其转置的乘积等于其本身。只有对称矩阵，反对称矩阵和正交矩阵满足矩阵的转置乘以矩阵，等于矩阵乘以矩阵的转置。如果矩阵不是方阵：转置矩阵与原矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵Amxn的列数n；原矩阵与转置矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵的行数m。

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。

如果矩阵是方阵，对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。反对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵的负矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。正交矩阵（逆矩阵＝转置矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。

将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。

对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。