Question

邻域的定义是什么?

Answer 1

邻域是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。

点a的δ邻域：设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。

a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，有时把开区间（a-δ，a）称为a的左δ邻域，把开区间（a，a+δ）称为a的右δ邻域。

邻域公理

给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域，当且仅当U满足以下的邻域公理：U1：若集合A∈U(x)，则x∈A。

邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。U1：若A是x的邻域，则x属于A。这是显然的。