Question

|x+|2x-1||=1这个方程怎么算？

Answer 1

含有绝对值的方程有两种解法，第一种是分类讨论，第二种是作图。

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分类讨论：

例如你说的这个方程，先拆解最外边的绝对值，它等于这两个方程：

x+|2x-1| = 1；(x + |2x - 1| > 0)

x+|2x-1| = -1。（x + |2x - 1| < 0）

满足这两个方程中任意一个的，都是题目所要求的解。然后进一步移项：

|2x-1| = 1-x；

|2x-1| = -1-x。

再分类讨论：

2x-1 = 1-x；（1）(x + |2x - 1| > 0, 2x - 1 > 0)

2x-1 = x-1；（2）(x + |2x - 1| > 0, 2x - 1 < 0)

2x-1 = -1-x;（3）(x + |2x - 1| < 0, 2x - 1 > 0)

2x-1 = 1+x。（4）(x + |2x - 1| < 0, 2x - 1 <0)

解分别是：x1 = 2/3；x2=0；x3=0；x4=2。x2和x3一样，所以有三个解：2/3，0，和2。但是要当心，这里面可能有解其实并不符合题意，因为我们并没有验证过我们假设的条件是否成立！

我们代入验证一下，|2/3 + |2/3 * 2 - 1|| = |2/3 + 1/3| = 1；|0 + |0 * 2 + 1|| = 1；|2 + |2 * 2 - 1|| = 5。因此x = 2/3和x=0都是正确的解，而x=2不是！为什么呢？

我们来看得到x4=2的情况（4）。此时应该有x + |2x - 1| < 0, 2x - 1 <0。如果2x-1 < 0，那么左式可改写为x + 1 - 2x < 0，得到x>1。而2x-1<0等于x<1/2，因此不存在这样的x！

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作图：

首先画出函数的图像。这个要一层一层画然后叠加，我们先画|2x-1|，首先2x-1长这个样子：

那么|2x-1|长什么样子呢？其实就是在与x轴的交界处直接原路反射就行了，就像这样：

然后再加x：（这个蓝的是叠加结果，两个斜率分别是-1和3，转折点位置为(1/2, 1/2)）

那么很明显，这蓝的根本就没有在3和4象限的，因此它的绝对值就是它的本身。最后我们再画出等式右侧：

那么等式左右侧对应曲线的交点，就是解的位置了。作图的时候实际上我们已经做了“分段讨论”的过程，因此我们是知道每一段的表达式的，这和做法1的“分类讨论”异曲同工，但是作图的做法不用验证，因为不会出现条件错误的情况。