Question

求证：有（a,b)=1,则(ab,a+b)=1.

Answer 1

法一：用反证法，假设存在大于1的整数k，使得(ab,a+b)=k
令p是k的一个质因数，则p|ab，且p|(a+b)
因为p|ab，所以p|a或者p|b
若p|a，因为p|(a+b)，则p|b
同理，若p|b，则有p|a
即p是a和b的一个公因数，这与(a,b)=1矛盾
故(ab,a+b)=1
法二：根据最大公因数的性质
(ab,a+b)=(a,a+b)*(b,a+b)
=(a,b)*(b,a)

=1*1
=1