Question

对于素数p，q，方程x 4 -px 3 +q=0有整数解，则p=______q=______

Answer 1

将方程x 4 -px 3 +q=0移项，得 x 4 +q=px 3 ．
可见，x 4 ≥0，则x 4 +q＞0，
所以px 3 ＞0，
即x＞0，
本题也就是要求出使方程x 4 -px 3 +q=0有正整数解的素数p、q；
且素数p必定是奇素数，否则是偶素数的话，
那么p=2，
则方程成为：x 4 +q=2x 3 ，
即q=2x 3 -x 4 =x 3 ×（2-x）＞0，
得出2-x＞0，
即x＜2，
则只能是x=1，
代入方程：1 4 +q=2×1 3 ，
即1+q=2，解得q=1，不是素数，故p必定是奇素数．
分两种情形讨论：
情形一：当x为偶数时，设为x=2n，
则有（2n） 4 +q=p×（2n） 3 ，
16n 4 +q=p×8n 3 ，
上式右端是偶数，则左端的q必须为偶数，
否则：左端奇偶相加得奇，不符．
而q作为素数，唯一的偶素数就是2，即q=2，
则上式成为 16n 4 +2=p×8n 3 ，
两边同时除以2，得：8n 4 +1=p×4n 3 ，
显然，左端奇偶相加得奇，但右端为偶，矛盾．
所以方程无偶整数解；
情形二：当x为奇数时，设为x=2n-1，则有（2n-1） 4 +q=p×（2n-1） 3 ，
观察上式，右端为奇，则左端也必须为奇，而（2n-1） 4 是奇，所以得出q必须为偶，故素数q=2，
上式成为：（2n-1） 4 +2=p×（2n-1） 3 ，
整理成：p（2n-1） 3 -（2n-1）^4=（2n-1） 3 ×[p-（2n-1）]=1×2，
由于（2n-1） 3 为奇，
所以必有：（2n-1） 3 =1，
解得：n=1；
则：[p-（2n-1）]=2，
解得：p=3；
综上，对于素数p、q，方程x 4 -px 3 +q=0有整数解，则p、q分别为3和2．
故答案为：p=3，q=2．