Question

解方程y''-3y'+2y=2e^-xcosx+e^2x(4x+5)？

Answer 1

y''-3y'+2y=0的通解是y=c1e^x+c2e^(2x),
设y=e^(-x)*(acosx+bsinx)+e^(2x)*(mx^2+nx+p)是
y''-3y'+2y=2e^（-x）*cosx+e^（2x)*(4x+5)①的特解，
y'=e^(-x)[-acosx-bsinx-asinx+bcosx]
+e^(2x)(2mx^2+2nx+2p+2mx+n)
=e^(-x)*[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]
+e^(2x)*[2mx^2+(2m+2n)x+n+2p],
y''=e^(-x)*[(a-b)cosx+(a+b)sinx+(a-b)sinx-(a+b)cosx]
+e^(2x)*[4mx^2+(4m+4n)x+2n+4p+4mx+2m+2n]
=e^(-x)*(-2bcosx+2asinx)+e^(2x)*[4mx^2+(8m+4n)x+2m+4n+4p].
都代入①，比较系数得
-2b-3(-a+b)+2a=2,
2a+3(a+b)+2b=0,
化简得5a-5b=2,
...........5a+5b=0,
解得a=1/5,b=-1/5.
4m-6m+2m=0,
8m+4n-3(2m+2n)+2n=4,
2m+4n+4p-3(n+2p)+2p=5.
化简得2m=4,
2m+n=5,
解得m=2,n=1,p取0.
所以原方程的通解是y=c1e^x+(2x^2+x+c2)e^(2x)+(1/5)e^(-x)*(cosx-sinx).