Question

可以经过初等行变换化为行阶梯矩阵吗

Answer 1

一般不能用列变换
任一矩阵都可经初等行变换化为行阶梯型
是否用列变换,关键要看用于解决什么问题.
初等列变换很少用,只有几个特殊情况:
1.线性方程组理论证明时:交换系数矩阵部分的列便于证明
2.求矩阵的等价标准形:行列变换可同时用
3.解矩阵方程 XA=B:对[A;B]'只用列变换
4.用初等变换求合同对角形:对[A;E]'用相同的行列变换
初等行变换的用途:
1.求矩阵的秩,化行阶梯矩阵,非零行数即矩阵的秩
同时用列变换也没问题,但行变换就足够用了!
2.化为行阶梯形
求向量组的秩和极大无关组
(A,b)化为行阶梯形,判断方程组的解的存在性
3.化行最简形
把一个向量表示为一个向量组的线性组合
方程组有解时,求出方程组的全部解
求出向量组的极大无关组,且将其余向量由极大无关组线性表示
4.求方阵的逆
(A,E)-->(E,A^-1)
解矩阵方程 AX=B,(A,B)-->(E,A^-1B)