闭区间最大值最小值定理证明
闭区间介绍
直线上介于固定的两点间的所有点的 集合(包含给定的两点)。 闭区间是直线上的 连通的 闭集。由于它是 有界闭集，所以它是 紧致的'。
闭区间的函数为 小于等于的关系 即 —∞≤a≤+∞ 在数轴上为实心点。
闭区间的 余集(就是 补集)是两个 开区间的 并集。
实数理论中有著名的 闭区间套定理。
代表符号：
[x,y] --> 从x值开始到y值，包含x、y
比如：x的取值范围是 3到5的闭区间 那么用数学语言表示即为 [3,5] 也就是从3(含)到5(含)之间的数。
最大值最小值定理证明
对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.
例如:
定理1(最大值和最小值定理)：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
定理表明：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使是闭区间上的最小值;又至少存在一点，使在闭区间上的最大值
注：当定理中的“闭区间上连续”的条件不满足是，定理的结论可能不成立.
如，若是开区间内的连续函数，结论可能不成立.
又如，函数 在开区间内没有最大值，因为它在闭区间上不连续.
若在上有间断点，结论不一定成立.
函数在闭区间上有间断点，但函数在闭区间上既无最大值又无最小值.
案例过程讲解
证明：设函数f在闭区间[a，b]上连续，记M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
则必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m.
也就是说，有界闭区间上的连续函数必能取到它在这个区间上的最大值和最小值.
现证明如下
因为函数f在闭区间[a，b]上连续，
所以函数f在闭区间[a，b]上有界，
即数集{f(x)：x∈[a，b]}有界，
利用确界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上确界和下确界，m和M都是有限数.
显然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])， 考察上确界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
根据上确界的定义，
对任意n∈N*，
必定存在xn∈[a，b]，使得
M−1n
由于a≤xn≤b，{xn}有界，
根据列紧性定理，存在一个子列{xnk}和一点x*∈[a，b]，使得{xnk}，
由于f在x*处连续，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限)
在不等式M−1nk<(xnk)≤M的两端让k→∞，得出M≤f(x*)≤M
故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M.
同理可证存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m.
什么是极值定理
已知x、y都是正数,x+y=S,xy=P。 (1)如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大; (2)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小。 这是众所周知的极值定理。
设函数f(x)在x0附近的连续，则除x0以外函数f(x)可导，那么:
<1>:若点x0左边f(x)'>0,在x0右边f(x)'<0,则x0点为f(x)的一个极大值点
<2>:若在x0点左边f(x)'<0,在x0右边f(x)'>0,则x0为f(x)的一个极小值点
<3>:若在x0点的两边的导数f(x)'的正负号相同,则x0不是f(x)的极值点
函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。
