Question

(概率论基础5)切比雪夫不等式与三大定律

Answer 1

设随机变量 具有数学期望 ，方差 ，则有对于任意的整数 ，下列不等式成立：

“由频率收敛于概率”引申而来。设做了 次独立试验后，每次观察某时间A是否发生，定义随机变量 ，在这 次试验试验中，事件 一共出现了 次，则频率为：

若 ，则“频率趋于概率”，在某种意义下，当 很大时，有 ，但 就是 的期望值。也可以理解成当 很大时， 接近于 的期望值。

设 是独立同分布的随机变量序列，且具有数学期望 ，则对于任意的 ，有：

设随机变量 独立同分布，且具有同一期望 ，则序列 依概率收敛于 .

设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数， 是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ，都有

那么， 的分布函数 对于任意 满足：

也就是说，当随机变量 独立同分布，且具有相同的数学期望 和方差 时，当 充分大时，其标准化变量趋近于正态分布 。

设随机变量 服从参数为 的 二项分布 ，则对于任意 ，有

Answer 2

关于概率不等式和概率论极限理论的系统理论建设，可参考下列书中的第8章：袁德美，王学军，测度论基础与高等概率论（上下册），科学出版社，2023。 同时，在《测度论基础与高等概率论学习指导》一书中给出了所有习题的完整解答和评注。