Question

画圈处如何算出来的呢？

Answer 1

可以利用下面的第二个裂项公式:

1/[n（n+1）]

=1/n-1/（n+1）；

1/[（2n-1）（2n-1）]

=1/2[1/（2n-1）-1/（2n+1）]

画圈处的式子就是这么算出来的（如下图）:

用裂项公式解题

其实，利用裂项公式还可以直接得到下一步的结果:

利用裂项公式

Answer 2

1/(1x3)+1/(3x5)+...+1/[(2k-1)(2k+1)]
=(1/2) { (1 -1/3) +(1/3-1/5)+...+[1/(2k-1)-1/(2k+1)] }
=(1/2)[ 1- 1/(2k+1)]
=k/(2k+1)