Question

曲面求积分的时候为什么是求面积？

Answer 1

曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)

那么曲面在三个坐标平面上的投影满足

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy

例如：

利用两种曲面积分的关系，先转化成对dxdy的曲面积分：

原式=∫∫（f+x）cosαdS+（2f+y）cosβdS+（f+z）dxdy

=∫∫（f+x）cosα/cosγ*dxdy+（2f+y）cosβ/cosγ*dxdy+（f+z）dxdy★

因为∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧，所以可以求出cosα=cosγ=1/√3，cosβ= - 1/√3。

代入★中得到原式=∫∫[（f+x）-（2f+y）+（f+z）] dxdy

=∫∫dxdy▲=曲面∑的面积。

或者，第二步，再把▲化成二重积分：

记Dxy是平面x-y+z=1在xoy坐标面上的投影，

则原式=∫∫dxdy=∫∫（Dxy）dxdy=Dxy的面积=0.5。

扩展资料：

曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

∑分为两片，∑1是y=√(1-x^2)，取右侧，∑2是y=-√(1-x^2)，取左侧。两片曲面在在zox面上的投影都是矩形域：-1≤x≤1，0≤z≤h。所以∫∫xdzdx=2∫(-1到1)dx∫(0到h) xdz=0。

参考资料来源：百度百科-曲面积分