Question

二阶导数的意义

Answer 1

二阶导数的意义如下：

1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

2、函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

二阶导数的性质：

1、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

2、结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

3、函数凹凸性。

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么，

（1）若在（a，b）内f''（x）>0,则f（x）在[a，b]上的图形是凹的；

（2）若在（a，b）内f’‘（x）<0,则f（x）在[a，b]上的图形是凸的。