Question

如图，求定积分

写个步骤吧，谢谢

Answer 1

这里答题没有公式编辑器，积分上下限我写成∫₀^∞ 你应该能看懂吧，下面是答案：
要计算积分：
∫₀^∞ (xlnx)/(1+x^2)^2 dx
我们可以使用分部积分法，令 u = ln x，dv = x / (1 + x^2)^2 dx，则 du = 1/x dx，v = -1/(2(1+x^2))。
将 u 和 v 代入分部积分公式，得到：
∫₀^∞ (xlnx)/(1+x^2)^2 dx = [-lnx / (2(1+x^2))]₀^∞ - ∫₀^∞ (-1/(2(1+x^2))) (1/x) dx
考虑第一项 [-lnx / (2(1+x^2))]₀^∞，当 x 趋向于无穷大时，这一项的值趋向于零；当 x 等于零时，这一项的值为 0，因此这一项为零。
对于第二项 ∫₀^∞ (-1/(2(1+x^2))) (1/x) dx，可以使用换元法，令 u = 1 + x^2，du/dx = 2x，则有：
∫₀^∞ (-1/(2(1+x^2))) (1/x) dx = ∫₁^∞ (-1/(2u)) du
对上式进行积分，得到：
∫₁^∞ (-1/(2u)) du = [-1/2 ln|u|]₁^∞ = [-1/2 ln|1+x^2|]₁^∞
因为当 x 趋向于无穷大时，ln(1+x^2) 的值趋向于无穷大，因此这一项的值为正无穷；当 x 等于零时，ln(1+x^2) 的值为零，因此这一项的值为 0。
综上所述，积分的值为 0。

Answer 2

f(x)=(1/2) ∫[0--->x] (x-t)²g(t) dt=(1/2) ∫[0--->x] (x²-2tx t²)g(t) dt=(x²/2) ∫[0--->x] g(t) dt - x∫[0--->x] tg(t) dt (1/2)∫[0--->x] t²g(t) dt f '(x)=x∫[0--->x] g(t) dt (x²/2)g(x)-∫[0--->x] tg(t) dt-x²g(x) (1/2)x²g(x)=x∫[0--->x] g(t) dt-∫[0--->x] tg(t) dtf ''(x)=∫[0--->x] g(t) dt xg(x)-xg(x)=∫[0--->x] g(t) dt

Answer 3

确定是原题吗