Question

设a1,a2,……,a2010都是整数,且每个数ai（i=1,2,……,2010）都满足-1≤ai≤2

Answer 1

设ai（i=1,2,……,2010）中-1,1,0,2的个数分别为m,n,p,q,
y=a（^5）1+a（^5）2+……+a（^5）2010,则
a1+a2+……+a2010=m*(-1)+n*1+p*0+q*2=-m+n+2q=100 ①
a²1+a²2+……+a²2010=m*(-1)²+n*1²+p*0²+q*(-2)²=m+n+4q=2010 ②
y=m*(-1)^5+n*1^5+n*0^5+q*2^5=-m+n+32q=100+30q
于是
（1）当q=0时,y有最小值=100,此时
-m+n=100
m+n=2010
解得
m=955 n=1055 p=0
即最小值为100,此时这列数中-1有955个,0有0个,1有1055个,2有0个.
（2）y取到最大则q取最大,结合①、②,此时n取最小
当n=1时：
-m+2q=99
m+4q=2009
相加得
6q=2198
q= 351.33不是整数,不满足题意
当n=2时：
-m+2q=98
m+4q=2008
相加得
6q=2106
q=351
m=2008-4*351=604
p=2012-604-2-351=1055
最大值y=100+30*351=10630
即最大值为10630,此时这列数中-1有604个,0有2个,1有1055个,2有351个.