Question

无穷积分敛散性的判别方法

Answer 1

无穷积分敛散性的判别方法如下：

1、判断级数的通项的极限是否为0，即是否有，若没有，则发散；若有，则进行第2步。

2、区分级数是正项级数、交错级数，还是任意项级数，区分之后进行第3步。

正项级数交错级数任意项级数（该级数各项可正、可负、可为零）。

3、按照下面相应级数敛散性的判定方法去判定。

常见有比较判别法，比值判别法，根植判别法，最重要的是，莱布尼茨判别法。

一定要是交错级数，才可以用莱布尼茨判别法。

一般情况下，会拆分为一个正项级数和一个其他类型级数（可能是正项级数、交错级数或任意项级数），然后分别去判定他们的敛散性。

首先对他做个简单的变换，令t=1-x，则原来积分变为∫(lnt)^(2/m) dt |0,1。
我们先从lnt /(1/t)^k看起来，如果k>0，分子分母都趋于无穷大，应用罗比达法则得到1/t /(-k /t^(k+1)) =- t^k/k。
所以对于任意k>0，极限为0，lnt是1/t^k的低阶无穷大(k>0)。
所以(lnt)^(2/m)是1/t^(2k/m)的高阶无穷大，2k/m>0。

而∫1/x^p dx = (p-1)1/x^(p-1) |0,1。
当p=1时，积分为lnx不可积。
当p>1时，积分在x=0处不收敛。
当p<1时，积分变为(p-1)x^(1-p) = p-1可积。
所以取2k/m =0.5即k=m/4时，可以知道(ln(t))^(2/m)的高阶无穷大x^(-0.5)依然可积，说明原来积分也是可积的。