Question

正项级数的比较审敛法

Answer 1

正项级数的比较审敛法：

正项级数是常数项级数的一种。所谓的正项级数就是数列的一般项大于或等于0的级数。两个常见的p级数和几何级数就是正项级数。根据常数项无穷级数收敛的定义可知，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界。

从充分性角度看，正项级数的部分和数列是关于n的递增数列，并且部分和数列有上界，根据单调递增有上界的数列必有极限的定理可知，正项级数收敛。

从必要性的角度看，正项级数的部分和数列必然大于或等于0，且小于或等于收敛值，因此当正项级数收敛是，其部分和数列有界。

比较审敛法很好理解。但是在实际中，常常需要用到比较审敛法的推广形式。从级数收敛的性质可知，改变数列的有限项不影响级数的敛散性，并且，对收敛级数的数列一般项乘以一个常数也不改变级数敛散性。

比较审敛法的极限形式虽然是从比较审敛法的基础上，延伸出来的，但是却不太好理解，小编将会详细解释比较审敛法的极限形式。出于描述方便的考虑，小编接下来会用分母级数、分子级数分别表示分母所属的级数、分子所属的级数。