Question

散度的物理意义

Answer 1

简单来说散度就是密度。密表示聚集的意思，散表示分开的意思，二者意思本来是相反的。

下边U可理解为电压，E可理解为电场强度。

以三维空间为例，梯度算符∇带有三个方向的偏导，且需要把方向i,j,k写在偏导旁边，因此梯度算符本身有向量的特征。梯度算符作用于标量势函数U(x,y,z)将会得到一个向量场函数E(x,y,z)，这个向量场函数类比于梯度向量场函数。

电场E实际对应电荷面密度，但E是个向量，方向为此处测试正电荷的受力方向。

梯度算符∇点积作用于一个向量场函数E(x,y,z)，得到的标量叫散度。若把E理解为电场强度，此时散度可对应电荷体密度，电荷体密度是个标量。

假设当前环境存在涡旋电场E(x,y,z)。则梯度算符叉积作用于向量场E(x,y,z)，得到旋度。旋度是个向量，它实际对应单位面积的环量。旋度点积一个向量面元得到一个标量(这个向量面元的方向取面元法向)，这个标量即为当前面元上的环量。

用涡旋电场举例有点不妥。改用磁场向量H举例。电生磁：I=环路积分∫H·dl=面积分∫∇×H·dA。环路积分∫H·dl所得结果叫环量。旋度叉积作用于磁场H得到一个旋度向量，旋度向量是什么呢？这个旋度向量是单位面积的磁场环量。

单位面积的磁场环量怎么计算呢？磁场H是个向量，H的环路积分得到一个标量，用这个标量除以环路对应的面积S(S是个向量)，则得到单位面积的环量，这个单位面积的环量即为旋度。