Question

化二次型为标准型的三种方法

Answer 1

化二次型为标准型的三种方法如下：

一、配方法

如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。

例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=（x1^2+4x1x2+2x1x3）+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3）^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2。

作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2。将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵。

二、初等变换法

将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I），在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换，当将A化为对角阵时，子块I将会变为C’。

三、正交变换法

先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2。