Question

若函数f(X)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a

Answer 1

若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“方正”函数.
（1）设g(x)=(1/2)x^2-x+3/2是[1,b]上的“方正”函数,求常数b的值；
（2）问是否存在常数a,b(a≠2),使函数h(x)=1/(x+2)是区间[a,b]上的“方正”函数?若存在,求出a,b的值：不存在说明理由.
解（1）g(x)=(1/2)x^2-x+3/2=((x-1)^2)/2+1,该函数最小值为1,且在x=1取得,当x≥1时,该函数是递增的,如果该函数是“方正”函数,则x=b时,g(b)=b,即(1/2)b^2-b+3/2=b,解关于的方程得b=1或b=3,b=1=a与a<b矛盾,不符要求,故b=3.
（2）h(x)=1/(x+2)是减函数,如果h(x)是[a,b]上“方正”函数,则必有h(a)=b,h(b)=a,即1/(a+2)=b,1/(b+2)=a,故得1=ab+2b,1=ab+2a,a=b,这与a<b矛盾,故不存在常数a,b,使函数h(x)=1 div="" (x+2)是区间[a,b]上的“方正”函数. </b矛盾,不符要求,故b=3.
</b),则称函数f(x)是[a,b]上的“方正”函数.