Question

如何判断三重积分的奇偶性？

Answer 1

三重积分的奇偶性判断：积分函数在积分范围内的正负，f（x）在0到正无穷范围内是单调递增的，当01，根据单调性，f（1/x）>f（1），f（u）在f（1）到f（1/x）范围内是小于f（1/x）的，因此相减大于0，当1<x<正无穷时同上分析，可知也大于0。

可得三维体可表示为x2+y2+（z-1）2<=1，该体为关于平面x=0、y=0对称也关于平面z=1对称，但不关于z=0对称。被积函数中出现奇数次的x、y或（z-1），其余乘机项为偶的都可视为对称区域。所以ABD都为奇，积分结果为0。

设三元函数

f（x，y，z）在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1，2，n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ）Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一（即与Ω的分割和点的选取无关），则称该极限为函数f（x，y，z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x，y，z）dV，其中dV=dxdydz。