Question

(1+2倍的根号X)的6次方的展开式中所有有理数系数之和等于?？

Answer 1

(1+2√X)^6的展开式通项Tr+1=C(6,r)2^r*x^(r/2)
∴r=0,2,4,6时为有理项
∴a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3^6
a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-1)^6=1
2(a0+a2+a4+a6)=3^6+1
a0+a2+a4+a6=(3^6+1)/2=365
∴(1+2√X)^6的展开式中所有理项系数之和等于365,6,算法是：
[(1+2)^6+(1-2)^6]/2=365
这么算的原因是
考虑多项式：
(1+2倍的根号X)的6次方+(1-2倍的根号X)的6次方
这个式子展开后恰好只含原式中的有理项（而且刚好是2倍）
再对此多项式带入x=1就得到答案了,1,它的系数不都是有理数吗？令x=1不就行了吗？,1,