Question

数学原命题为真,否命题就一定为假吗

Answer 1

原命题 否命题 逆否命题 矛盾命题关系是：
原命题：A ====> B 即； 如果A成立,则B成立
否命题：A横杠 ====> B横杠 即； 如果A不成立,则B不成立
逆命题：B ====> A 即； 如果B成立,则A成立
逆否命题：B横杠 ====> A横杠 即； 如果B不成立,则A不成立
原命题和逆否命题是等价命题；
逆命题和否命题是等价命题；
等价也称等效．甲、乙两命题等价就是可以互推,可写成甲非A 是正确的．
反之,当逆否命题正确时,同理可证原命题也必正确．由此可知互为逆否关系的两个命题是等价的．
同祥,逆命题和否命题也互为逆否命题,因而也是等价命题．因此,就本质上看,命题只有两种,即(1)和(2)．命题(3)、(4)不过分别是(1)、(2)的否定形式而已．
值得提出的是,当原命题正确时,其逆命题或否命题均 未必 正确,可以都真,可以都假．因此对于两个互逆或互否的命题的正确与否,必须分别予以证明．
我们讨论命题的各种形式及其相互关系和等价性,对于论证数学问题作用很大.当我们证明某个命题有困难盹,可以改证它的逆否命题(等价命题)．这就给命题的证明开辟了一条广阔的道路．要知相关的四个命题的正确与否,只须证明互逆或互否的两个命题就够了．如果一真一假,必定两真两假；如果两真(假),必定四真(假)．至于选哪两个去证,当然是择其易者而为之了．当我们学习了一个定理或者证明了一个命题为真后,自然地会联想到它的逆命题(或否命题)是否正确?如果证明其也真,就推出了新定理,如果是假,也加深了对原命题的理解．因此,我们应该养成这种推陈出新,提出新问题,甚至发现新定理的良好学习习惯．
一个命题只有一个逆命题吗?
答：假定原命题是“若A则B”,那么逆命题便是“若B则A”．这是指当A和B都只含一条事项时而言的．但当一个命题的条件和结论不止一条时,它的逆命题便不止一个了