Question

设出下面微分方程的特解: y"-2y'-3y=e4x(cosx+？

Answer 1

y"-2y'-3y = e^(4x)(cosx+sinx)
特征方程 r^2-2r-3 = 0, r = -1, 3
故设特解 y = e^(4x)(Acosx+Bsinx)
得 y' = 4e^(4x)(Acosx+Bsinx) + e^(4x)(-Asinx+Bcosx)
= e^(4x)[(4A+B)cosx+(4B-A)sinx]
y'' = 4e^(4x)[(4A+B)cosx+(4B-A)sinx] + e^(4x)[-(4A+B)sinx+(4B-A)cosx]
= e^(4x)[(15A+8B)cosx+(15B-8A)sinx]
代入微分方程得
[(15A+8B)cosx+(15B-8A)sinx] - 2[(4A+B)cosx+(4B-A)sinx]
-3(Acosx+Bsinx) = cosx+sinx
4A+6B = 1 ， 4B-6A = 1， 联立解得 A = -1/26， B = 5/26
特解 y = (1/26)e^(4x)(-cosx+5sinx)

Answer 2

y = (-(2*e*x*sin(x))/5)+(14*e*sin(x))/25-(4*e*x*cos(x))/5-(2*e*cos(x))/25+C*e^(3*x)+C1/e^x

Answer 3

解:微分方程为y"-2y'-3y=e⁴ˣ(cosx+sinx)，化为y"-3y'+y'-3y=e⁴ˣ(cosx+sinx)，有

y"e⁻³ˣ-3y'e⁻³ˣ+y'e⁻³ˣ-3ye⁻³ˣ=eˣ(cosx+sinx)，(y'e⁻³ˣ)'+(ye⁻³ˣ)'=eˣ(cosx+sinx)，y'e⁻³ˣ+ye⁻³ˣ=eˣsinx+4a(a为任意常数)，y'eˣ+yeˣ=e⁵ˣsinx+4ae⁴ˣ，(yeˣ)'=e⁵ˣsinx+4ae⁴ˣ，

yeˣ=5e⁵ˣsinx/26-e⁵ˣcosx/26+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=5e⁴ˣsinx/26-e⁴ˣ

cosx/26+ce⁻ˣ

解微分方程

请参考