Question

1/4,3/9,7/16,13/25,21/36第9个数是多少?第n个数呢?

Answer 1

将各项的分子分母分别组成一个数列,首先分别求出分子分母的通项,设分子an,分母为bn.
分子cn=an/bn是n^2-n+1,(n^2表示n的平方)
分母是（n＋1）^2下面就是求通项的方法
设第一个分子为a1,第二个为a2,第n个为an
a2-a1=2
a3-a2=4
an-a(n-1)=2+2*(n-1-1)＝2n－2(n≠1)
左右分别相加得an-a1=2+4+6+...+2n-2
＝2(n-1)+(n-1)(n-1-1)2/2
=n^2-n (n≠1)
(等差数列,首项2,公差2,n-1项)
所以an=n^2-n+1(n≠1)
代入n＝1 得到an=1满足a1=1,所以an=n^2-n+1
同理可以求出bn
b2-b1=5
b3-b2=7
.
bn-b(n-1)=5+2(n-1-1)=2n+3(n≠1)
左右分别相加得
bn-b1=5+7+...+2n+3=(n-1)*5+(n-1)(n-1-1)*2/2
=n^2+2n-3(n≠1)
所以bn=n^2+2n-3+b1=n^2+2n-3+4=(n+1)^2(n≠1)
经验证n＝1满足,所以bn=(n+1)^2
所以cn=an/bn=(n^2-n+1)/(n+1)^2,得
c9=(9*9-9+1)/(9+1)^2=73/100
高中阶段一般就是遇到等差,等比数列或者是经过转化后变成等差,等比,往往是要经过转化,一下四种情况较多
第一 等差数列
第二 等比数列
第三 相邻两项差成等差
第四 相邻两项差成等比
前两种就比较简单,后面两种的话就按照上面的方法作就行了,拿到一个关于数列的题,首先看是不是前两种,如果是就简单了,若不是再看看是不是第三种,是的话就安上面的解法作,若是第四种,也是先相邻两项作差,只不过最后两边相加求和的时候变成了等比数列求和
掌握了上面的几种情况,基本上在数列问题上都没有什么问题了,基本上都可以变成上面的几种情况,万变不离其宗,灵活掌握就行了