Question

已知函数f（x）=2ax+a2−1x2+1，其中a∈R．

Answer 1

解题思路：（1）a=1时，存在x1，x2∈（0，1]使h（x1）＞g（x2）成立，等价于h（x）max＞g（x）min，利用导数、函数单调性可求得两函数的最值；（2）f′（x）=−2(x+a)(ax−1)(x2+1)2，按照a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论，根据单调性可判断函数最值情况；

（1）g′（x）=[2lnx/x]+2e，g′（x）=0⇒x=e-1，
x∈（0，e-1），g'（x）＜0，g（x）递减；x∈（e-1，1），g'（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）min=g（e-1）=1，∴h（x）=[2mx
1+x2，
显然m＞0，则h（x）在（0，1]上是递增函数，h（x）max=m，
∴m＞1，
所以存在x1，x2∈（0，1]使h（x1）＞g（x2）成立时，实数m的取值范围是（1，+∞）；
（2）f′（x）=
−2(x+a)(ax−1)
(x2+1)2，
①当a=0时，f′（x）=
2x
(x2+1)2．
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，f（x）在[0，+∞）上不存在最大值和最小值；
当a≠0，f′（x）=
−2(x+a)(x−
1/a)
(x2+1)2]，
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-a＜0，x2=[1/a]，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （0，x2）x2（x2，+∞）
f'（x）+0-
f（x）↗f（x2）↘故f（x）的单调减区间是（ [1/a]，+∞）；单调增区间是（0，[1/a]）．
当a＞0时，由上得，f（x）在（0，[1/a]）单调递增，在（[1/a]，+∞）单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f（ [1/a]）=a2＞0．
又因为
lim
x→∞f（x）=
lim
x→∞
2ax+a2−1
x2+1=0，
设x0为f（x）的零点，易知x0=
1−a2
2a，且x0＜[1/a]．从而x＞x0时，f（x）＞0；x＜x0时，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x（0，x1）x1（x1，+∞）
f'（x）-0+
f（x）↘f（x1）↗所以f（x）的单调增区间是（-a，+∞）；单调减区间是（0，-a），f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
又因为
lim
x→∞f（x）=
lim
x→∞
2ax+a2−1
x2+1=0，
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求较高．