求数学大佬解答一下 250
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已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,bsin2A=asinB。我们可以使用正弦定理来解决这个问题。
正弦定理告诉我们:
a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC = 2R
其中 R 是外接圆半径。在这个问题中,已知 R = 2√3/3。
我们可以将已知条件写成:
a/ sinA = b/ sinB = 2√3/3
已知 bsin2A = asinB。注意到 sin2A = 2sinAcosA,所以我们可以得到:
b(2sinAcosA) = a(sinB)
我们可以将正弦定理中的 a/sinA 和 b/sinB 分别代入上式:
2(2√3/3)(sinAcosA) = (2√3/3)(sinB)
由于 2√3/3 是一个非零常数,我们可以消去它,得到:
2sinAcosA = sinB
注意到 2sinAcosA = sin2A,所以我们有 sin2A = sinB。
(1)求角A:
因为 sin(180° - x) = sin(x),所以 sinB = sin(180° - 2A)。
现在我们有 sin2A = sin(180° - 2A)。解这个方程,我们得到 A = 30° 或 A = 90°。
然而,如果 A = 90°,那么 2A = 180°,这意味着 B = 0°,这是不可能的。所以,A = 30°。
(2)求ΔABC周长的最大值:
我们知道 A = 30°,那么 2A = 60°。这意味着 B = 180° - 2A = 180° - 60° = 120°。这样我们可以得到角C = 180° - (A + B) = 180° - (30° + 120°) = 30°。
现在我们知道所有角度,可以使用正弦定理计算边长。已知 R = 2√3/3,我们有:
a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC = 2R
a = 2R sinA = (2√3/3) sin(30°) = (2√3/3)(1/2) = √3
b = 2R sinB = (2√3/3) sin(120°) = (2√3/3)(√3/2) = 2
c = 2R sinC = (2√3/3) sin(30°) = √3
现在我们知道三角形的所有边长:a = √3,b = 2,c = √3。ΔABC的周长为 a + b + c = √3 + 2 + √3 = 2 + 2√3,这就是ΔABC周长的最大值。
正弦定理告诉我们:
a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC = 2R
其中 R 是外接圆半径。在这个问题中,已知 R = 2√3/3。
我们可以将已知条件写成:
a/ sinA = b/ sinB = 2√3/3
已知 bsin2A = asinB。注意到 sin2A = 2sinAcosA,所以我们可以得到:
b(2sinAcosA) = a(sinB)
我们可以将正弦定理中的 a/sinA 和 b/sinB 分别代入上式:
2(2√3/3)(sinAcosA) = (2√3/3)(sinB)
由于 2√3/3 是一个非零常数,我们可以消去它,得到:
2sinAcosA = sinB
注意到 2sinAcosA = sin2A,所以我们有 sin2A = sinB。
(1)求角A:
因为 sin(180° - x) = sin(x),所以 sinB = sin(180° - 2A)。
现在我们有 sin2A = sin(180° - 2A)。解这个方程,我们得到 A = 30° 或 A = 90°。
然而,如果 A = 90°,那么 2A = 180°,这意味着 B = 0°,这是不可能的。所以,A = 30°。
(2)求ΔABC周长的最大值:
我们知道 A = 30°,那么 2A = 60°。这意味着 B = 180° - 2A = 180° - 60° = 120°。这样我们可以得到角C = 180° - (A + B) = 180° - (30° + 120°) = 30°。
现在我们知道所有角度,可以使用正弦定理计算边长。已知 R = 2√3/3,我们有:
a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC = 2R
a = 2R sinA = (2√3/3) sin(30°) = (2√3/3)(1/2) = √3
b = 2R sinB = (2√3/3) sin(120°) = (2√3/3)(√3/2) = 2
c = 2R sinC = (2√3/3) sin(30°) = √3
现在我们知道三角形的所有边长:a = √3,b = 2,c = √3。ΔABC的周长为 a + b + c = √3 + 2 + √3 = 2 + 2√3,这就是ΔABC周长的最大值。
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