已知三角形ABC,角C=90度,AC=BC,D为BC上一点,且AB=AC+CD.求证AD平分角CAB.
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过D作DE⊥AB于E,交AC的延长线于F,
∵ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠B=45°,
∴ΔBDE是等腰直角三角形,∴DE=BE,∠CDF=∠BDE=45°,
∴ΔCDF也是等腰直角三角形,∴∠F=45°,CD=CF,
∵AB=AC+CD=AF,∠AEF=∠ACB=90°,∠F=∠B=45°,
∴ΔAFE≌ΔABC,∴AE=AC,
∴AB-AE=AF-AC,即CF=BE,
∴CD=DE,又∠DCA=∠DEA=90°,
∴AD平分∠BAC(到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
∵ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠B=45°,
∴ΔBDE是等腰直角三角形,∴DE=BE,∠CDF=∠BDE=45°,
∴ΔCDF也是等腰直角三角形,∴∠F=45°,CD=CF,
∵AB=AC+CD=AF,∠AEF=∠ACB=90°,∠F=∠B=45°,
∴ΔAFE≌ΔABC,∴AE=AC,
∴AB-AE=AF-AC,即CF=BE,
∴CD=DE,又∠DCA=∠DEA=90°,
∴AD平分∠BAC(到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
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