Question

设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R（A）=R（B）．？

Answer 1

解题思路：根据等价的定义“初等变换前后的矩阵是等价的”和“初等变换不改变矩阵的秩”证明必要性；根据秩相等的矩阵，它们的标准型是一样的，证明充分性．
证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）．
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为

ErO
OO
即A、B都与

ErO
OO等价，从而A与B等价．
,1,A与B相抵，意味着二者有相同的相抵标准型，故r(A) = r(B)；反过来秩相等的矩阵相抵标准型也相同，记为Ir, 则 Ir = P1 * A * Q1 = P2 * B * Q2，故有 A = inv( P1 ) * P2 * B * Q2 * inv( P1 ) = P * B * A，其中P1, P2, Q1, Q2, P, Q均为可逆阵，因此A, B相抵。证毕,2,楼上说的对！,1,