Question

函数y= xsinx的积分

Answer 1

xsinx在0到π上的积分是2。

原式=-∫sinx dcos

=-∫√(1-cos2x) dcosx

=(1/2)[-cosx (1-(cosx)^2)^(1/2)+arccos(cosx))] (x=0, π/2)

=x/2-sin2x/4 (x=0, π/2)

= ∫ dx（1-cos2x）/2。

y=x为奇函数，y=sinx也是奇函数，奇函数×奇函数=偶函数，所以y=xsinx为偶函数。偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

函数奇偶性结论

（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性。

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（-a，0）对称。

若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=-a对称。