Question

f（x）=1/1+x^2+x^3∫f（x）dx,则∫f（x） dx=,积分区间为0到1

Answer 1

1.因为f(x)=1/(1+x^ 2)+x^ 3∫(0,1)f(x)dx
记∫(0,1)f(x)dx=k（常数）
则f(x)=1/(1+x^ 2)+kx^ 3
两边在[0,1]上积分
∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)1/(1+x^ 2)dx+k∫(0,1)x^3dx
即k=arctanx|(0,1)+(1/4)kx^4|(0,1)
化简有k=π/4+k/4
解得k=π/3
得f(x)=1/(1+x^ 2)+(π/3)x^ 3
那么
∫f(x)dx=∫[1/(1+x^ 2)+(π/3)x^ 3]dx
=∫[dx/(1+x^ 2)+∫(π/3)x^ 3dx
=arctanx+(π/12)x^4+C
2.用公式f(x)=(1+x)^ m=1+mx+{[m(m-1)]/2!}x^2+...+{[m(m-1)...(m-n+1)]/n!}x^n+...,x∈(-1,1)