设A B为n阶矩阵,且r（A）=r（B）,则存在可你矩阵P Q,使PAQ=B怎么证明?
1个回答
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秩相等不一定相似 所以 "存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B不对"
因为A,B的秩相等,所以它们的等价标准形相同
即A,B都与 H=
Er 0
0 0
等价
即存在可逆矩阵使得 P1AQ1 = H = P2BQ2
所以 P2^-1P1AQ1Q2^-1 = B
令 P= P2^-1P1,Q = Q1Q2^-1
则有 PAQ=B.
再问： 为什么不相似就“存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B不对”
再答： P^-1AP=B 这是A,B相似
因为A,B的秩相等,所以它们的等价标准形相同
即A,B都与 H=
Er 0
0 0
等价
即存在可逆矩阵使得 P1AQ1 = H = P2BQ2
所以 P2^-1P1AQ1Q2^-1 = B
令 P= P2^-1P1,Q = Q1Q2^-1
则有 PAQ=B.
再问： 为什么不相似就“存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B不对”
再答： P^-1AP=B 这是A,B相似
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