Question

π的这个无穷级数公式怎么证明？

Answer 1

π（圆周率）可以通过多种方法来计算，其中一个著名的无穷级数公式是：
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
这个无穷级数公式可以通过泰勒级数展开和复数运算来进行证明。以下是一个简单的证明步骤：
1. 使用复数运算：我们定义函数 f(x) = arctan(x)，其中 -1 < x ≤ 1，且 f(x) 的导数是 1/(1+x²)。
2. 使用泰勒级数展开：我们可以对 f(x) 在 x = 0 处进行泰勒级数展开，得到 f(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...
3. 将 x 取代为 1：将 x 替换为 1，我们得到 f(1) = π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
所以，根据这个证明，我们可以得出 π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... 的结论。
需要注意的是，这个级数公式的收敛速度相对较慢，因此要达到较高的精度需要计算更多的项数。还有其他方法可以计算 π，例如无穷积分、几何方法等，这些方法可以提供更高效的计算精度。