Question

三重积分的计算方法

Answer 1

直角坐标计算三重积分

三重积分计算一般先计算一个定积分，再计算一个二重积分，简称“先一后二”的计算方法（也称为投影法、穿针法），积分区域和它的投影区域一定要研究透彻，在此基础上也可以直接转化为三次积分。

在某些特殊情况下，三重积分计算也采用先计算一个二重积分，再计算一个定积分的方法，简称为“先二后一"的计算方法（也称为截面法、切片法）。”先二后一"的方法一般用于符合以下两个条件的三重积分：

（1）被积函数中不含有字母x,y，即只含常数和字母z（只含常数和字母x或y的计算方法类似）；（2）截面区域上的二重积分容易求得，比如积分区域是旋转体。

三重积分的计算应根据积分区域及函数特点选择积分法，在计算过程中尽量利用对称区域上函数的奇偶性化简积分。

柱面坐标计算三重积分

柱面坐标的适用范围：投影区域是圆域或圆域的一部分，被积函数含有x的平方+y的平方或y/x这样的形式，使用柱面坐标相对比较方便。

球面坐标计算三重积分

当被积函数含有x 平方+y的平方+z的平方等表达式，或积分区域是由球面、椭球面、锥面等具有对称性的曲面围成时，通常采用球面坐标计算比较简单。

交换积分次序

计算三重积分时经常遇到交换积分次序的问题，而三次积分交换积分次序一般应将相邻的两个积分看作二次积分（将另外的一个变量看作常数），用二次积分交换次序的方法来实现。