12和30的最大公因数
12的因数有：1,2,3,4,6,12. 30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30. 公因数有：1,2,3,6。 最大的公因数是：6。
\textbf{Def. } 若 a\mid b, 便称 a 是 b 的因数, b 是 a 的倍数. 假若 a\mid b,c, 便称 a 是 b, c 的公因数; 假若 a, b\mid c , 便称 c 是 a, b 的公倍数。
a, b 公因数的最大者称作最大公因数, 记作 \gcd(a, b); a, b 公倍数的最小者称作最小公倍数, 记作 \text{lcm}(a, b)。
对于有理整数环上的理想 I_1, I_2, 定义：
I_1\cap I_2=\{x\mid x\in I_1, I_2\}\\ I_1+I_2=\{x_1+x_2\mid x_1\in I_1, x_2\in I_2\}\\ 分别称之为理想的交与和(这定义是容易推广到多个理想且满足结合律的), 容易证明理想的交与和仍是理想(验证工作留待读者在某个孤独的情人节深夜进行), 那么从上一篇文章对有理整数环上理想的研究, 我们知道 I_1+I_2, I_1\cap I_2 将是某个整数生成的理想, 这整数与 I_1, I_2 各自的生成元是否有关? 我们先从理想的角度对整除进行一些新的讨论。
\textbf{Prop. } a\mid b 当且仅当 (b)\subset (a)(这实际上也可写为 b\in(a))\textbf{Prof. } 考虑 (a) 的如下改写: (a)=\{ka\mid k\in\mathbb{Z}\}\\ 于是命题的成立是家喻户晓的。
现在再看公约数, 我们便知道下面的结论:
\textbf{Prop. } (a)\cap(b)=(\text{lcm}(a, b))\\\textbf{Prof. } 从上一条命题论述的等价性, 我们知道 a, b\mid c\Leftrightarrow c\in(a)\cap(b), 于是 (a)\cap(b) 便是 a, b 的倍数的集合, \text{lcm}(a, b) 作为这集合的最小元, 显然是这理想的生成元, 这便是命题所需要的。
