Question

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a,若其图像与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.

Answer 1

解答：
∵f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
∴ f'(x)=x²-2x+a
① △=4-4a≤0,即 a≥1
此时，f'(x)恒非负，
∴ f(x)是增函数，
满足 f(x)的图像与x轴有且只有一个交点
② △=4-4a>0,即 a<1
令f'(x)>0, 则x>1+√(1-a)或x<1-√(1-a);
令f'(x)<0, 则1-√(1-a)<x<1+√(1-a)
∴f(x)在(-∞,1-√(1-a))和(1+√(1-a),+∞)上单调增;
在(1-√(1-a),1+√(1-a))上单调减
∴f(x)在x=1-√(1-a)处取极大值,在x=1+√(1-a)处取极小值
由题意，f(x)的极大值小于0, 或者f(x)的极小值大于0满足题意
（发现直接代入比较麻烦，需要对f(x)进行变形，利用x²-2x+a=0的两个根是1-√(1-a)，1+√(1-a)）
f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
=(1/3)x(x²-2x+a)-(1/3)x²+(2/3)ax-a
=(1/3)x(x²-2x+a)-(1/3)(x²-2x+a)+(2/3)ax-(2/3)x-(2/3)a
=(1/2)(x-1)(x²-2x+a)+(2/3)(ax-x-a)
=(1/2)(x-1)(x²-2x+a)+(2/3)[(a-1)(x-1)-1]
∴极大值 f(1-√(1-a))=(2/3)[(1-a)√(1-a) -1]<0 ∴ √(1-a)<1, 即 0<a<1
极小值 f(1+√(1-a))=(2/3)[(a-1)√(1-a) -1]>0, ∴(a-1)√(1-a)>1 ∵ a-1<0, ∴无解
∵ a<1
即 0<a<1

综上，a的取值范围为(0,+∞)

Answer 2

f'(x)=x^2-2x+a>=0恒成立时函数f(x)单调增
△=4-4a<=0
a>=1