已知复数z满足 z+|z|+i-3=|3-4||, 求复数z的值.
2023-03-14
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将复数 z 表示为 z = x + yi 的形式,其中 x 和 y 分别是 z 的实部和虚部。代入所给方程,得到:
x + yi + |x + yi| + i - 3 = |3 - 4i|
因为 |3 - 4i| = √(3² + (-4)²) = 5,将其代入上式,化简得:
x + |x + yi| + yi = 8 - 5i
因为 x + |x + yi| 的值为 z 与实轴之间的距离,因此我们考虑将 z 的解表示为形如 a + bi 的点到 (-|a|, 0) 的距离 d,即:
|a + d| + b = i
两边平方,得到:
(a + d)² + b² = i² - 2|a + d|i + b²
代入上式,化简得到:
a² + 2ad + d² + b² = i² - 2|a + d|i + b²
代入原方程得到:
d = 8 / √2, a = -(|a + d| + d) / 2 = -5 / √2, b = (i - |a + d|) / 2 = 1 / √2
因此,z 的解为:
z = -5/√2 + i/√2
x + yi + |x + yi| + i - 3 = |3 - 4i|
因为 |3 - 4i| = √(3² + (-4)²) = 5,将其代入上式,化简得:
x + |x + yi| + yi = 8 - 5i
因为 x + |x + yi| 的值为 z 与实轴之间的距离,因此我们考虑将 z 的解表示为形如 a + bi 的点到 (-|a|, 0) 的距离 d,即:
|a + d| + b = i
两边平方,得到:
(a + d)² + b² = i² - 2|a + d|i + b²
代入上式,化简得到:
a² + 2ad + d² + b² = i² - 2|a + d|i + b²
代入原方程得到:
d = 8 / √2, a = -(|a + d| + d) / 2 = -5 / √2, b = (i - |a + d|) / 2 = 1 / √2
因此,z 的解为:
z = -5/√2 + i/√2
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