Question

已知复数z满足 z+|z|+i-3=|3-4||, 求复数z的值.

Answer 1

将复数 z 表示为 z = x + yi 的形式，其中 x 和 y 分别是 z 的实部和虚部。代入所给方程，得到：
x + yi + |x + yi| + i - 3 = |3 - 4i|
因为 |3 - 4i| = √(3² + (-4)²) = 5，将其代入上式，化简得：
x + |x + yi| + yi = 8 - 5i
因为 x + |x + yi| 的值为 z 与实轴之间的距离，因此我们考虑将 z 的解表示为形如 a + bi 的点到 (-|a|, 0) 的距离 d，即：
|a + d| + b = i
两边平方，得到：
(a + d)² + b² = i² - 2|a + d|i + b²
代入上式，化简得到：
a² + 2ad + d² + b² = i² - 2|a + d|i + b²
代入原方程得到：
d = 8 / √2, a = -(|a + d| + d) / 2 = -5 / √2, b = (i - |a + d|) / 2 = 1 / √2
因此，z 的解为：
z = -5/√2 + i/√2