Question

√a+√b+√c=1,求a^2+b^2+c^2最小值

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

根据柯西-施瓦茨不等式，有：
(�+�+�)(1+1+1)≥(�+�+�)2=1(a+b+c)(1+1+1)≥(a+b+c)2=1
即 �+�+�≥13a+b+c≥31。
根据平均数不等式，有：
�2+�22≥�+�22a2+b2≥2a+b
因此，
�2+�2+�2≥(�+�)22+�2a2+b2+c2≥2(a+b)2+c2
同理可得 �2+�2+�2≥�2+(�+�)22a2+b2+c2≥a2+2(b+c)2 和 �2+�2+�2≥�2+(�+�)22a2+b2+c2≥b2+2(a+c)2。将这三个不等式相加，得到：
3(�2+�2+�2)≥2(�2+�2+�2)+�2+�2+�2≥(�+�)2+(�+�)2+(�+�)23(a2+b2+c2)≥2(a2+b2+c2)+a2+b2+c2≥(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2
化简可得：
�2+�2+�2≥13a2+b2+c2≥31
当且仅当 �=�=�=19a=b=c=91 时取等号，因此 �2+�2+�2a2+b2+c2 的最小值为 1331。