Question

设f(x)、g(x)都是可导函数，且|f(x)|＜g(x)，证明当x＞a时 |f(x)-f(a)|＜g(x)-g(a)．

Answer 1

【答案】：[证] 根据题意，要证g(a)-g(x)＜f(x)-f(a)＜g(x)-g(a)，即要证
f(x)+g(x)＞f(a)+g(a)及f(x)-g(x)＜f(a)-g(a)．
由题设|f'(x)|＜g'(x)，即-g'(x)＜f'(x)＜g'(x)，亦即
f'(x)+g'(x)＞0和f'(x)-g'(x)＜0，
知f(x)+g(x)在x＞a时单调增加，f(x)-g(x)在x＞a时单调减少，故有
f(x)+g(x)＞f(a)+g(a)及f(x)-g(x)＜f(a)-g(a)，
即|f(x)-f(a)|＜g(x)-g(a)．