设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)可导，证明存在ξ∈(a，b)，使bf(b)-af(a)=[f(ξ)+ξf(ξ)](b-a)．
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【答案】：本题即要证[xf(x)(b-a)-(bf(b)-af(a))x]'|x=ξ=0．故作辅助函数F(x)=xf(x)(b-a)-[bf(b)-af(a)]x，这时
F(a)=F(b)=ab[f(a)-f(b)]故F(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，于是存在ξ∈(a，b)使F'(ξ)=0即可证得所要证明的结论．
令φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，从而有ξ∈(a，b)使φ(b)-φ(a)=φ'(ξ)(b-a)，即
bf(b)-af(a)=[f(ξ)+ξf'(ξ)](b-a)
F(a)=F(b)=ab[f(a)-f(b)]故F(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，于是存在ξ∈(a，b)使F'(ξ)=0即可证得所要证明的结论．
令φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，从而有ξ∈(a，b)使φ(b)-φ(a)=φ'(ξ)(b-a)，即
bf(b)-af(a)=[f(ξ)+ξf'(ξ)](b-a)
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